中国福利彩票微信群规大全_Algorithm: GCD、EXGCD、Inverse Element

数论基础

数论是纯数学的一个研究分支,主要研究整数的性质。中国福利彩票微信群规大全初等数论包括整除理论、同余理论、连分数理论。这一篇主要记录的是同余相关的基础知识。

取模

取模是一种运算,本质就是带余除法,运算结果就是余数。取模运算结果的符号由被模数(被除数)决定。
\[ 7\%4=3;\space7\%(-4)=3;\\ (-7)\%4=-3;\space(-7)\%(-4)=-3 \]

取模运算的性质

\[ 设a>b>0,有:\\ (a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c\\ (a-b)\%c=(a\%c-b\%c+c)\%c \\ (a\times b)\%c=(a\%c\times b\%c)\%c \]

例题1

\[ 给定两个非负整数a,b和正整数n,计算f(a^b)\%n。\\ 其中,f(0)=f(1)=1,且对于\forall i>0,f(i+2)=f(i+1)+f(i)\\ (0\le a,b\le 2^{64},1\le n\le 1000) \]

找规律,对于mod n来说,最多n²项就会出现重复,找出重复项即可得到循环周期,然后找对应的项即可。

例题2:hdu 1212

题意是给一个位数不超过1,000的正整数A和一个大小不超过100,000的正整数B,求A%B。

这里只需要用到上面的两条性质,把A截断,从高到低模拟做除法即可。

#include <iostream>
string s; int mod, ans;
int main() {
    while(std::cin >> str >> mod) {
        ans = 0;
        for(int i = 0; s[i]; i++) ans = (ans * 10 + (s[i] - '0')) % mod;
        std::cout << ans << std::endl;
    }
    return 0;
}

GCD

中国福利彩票微信群规大全GCD即Greatest Common Divisor,最大公约数。最大公约数即能同时整除给定两个整数的最大正整数。特殊地:gcd(a,0)=a。求解最大公约数通常使用辗转相除法。下面是辗转相除法的代码实现:

typedef long long LL;
LL gcd(LL a, LL b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

辗转相除法得到的余数序列增长速度比斐波那契数列更快,已知斐波那契的增长是指数级别,则辗转相除法的复杂度是对数级别。

辗转相除法的证明:

1.设两个数a、b(a>b),他们的最大公约数为gcd(a,b),r = a % b,k = (a - a % b)/ b,那么证明辗转相除法,即是要证明:gcd(a,b)=gcd(b,r)。首先我们令c = gcd(a,b),那么肯定存在互质的整数m,n,使得a = mc,b = nc。那么有r = a - kb = mc - knc = (m - kn)c,根据这条式子,c也是r的因数。回过头看,如果能证明m-kn和n互质,那么就可以说明c=gcd((m-kn)c,nc)=gcd(b,r),所以把问题再次转化为:求证m-kn和n互质。

中国福利彩票微信群规大全2.反证法证明m-kn和n互质:假设m-kn和n不互质,用数学语言描述为:假设存在整数x,y,d,其中d>1,使得m-kn=xd,n=yd。中国福利彩票微信群规大全那么有m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,从而a=mc=(ky+x)cd,b=nc=ycd,则gcd(a,b)=cd≠c,与前设矛盾。故m-kn和n互质得证,也就证明了gcd(a,b)=gcd(b,r)。

唯一分解定理

对于任意大于2的正整数X,它总能写成如下形式:
\[ X=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2} \times ......\times p_k^{a_k},其中p是各不相同的质数 \]
即质因数分解。且这个分解唯一。

LCM

LCM即Least Common Multiple,最小公倍数。

\[ \begin{align} &根据唯一分解定理,对于给定的a,b:\\ &a=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2} \times......\times p_k^{a_k}\\ &b=p_1^{b_1}\times p_2^{b_2} \times......\times p_k^{b_k}\\ &那么:\\ &gcd(a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}\times p_2^{min(a_2,b_2)}\times ......p_1^{min(a_k,b_k)}\\ &lcm(a,b)=p_1^{max(a_1,b_1)}\times p_2^{max(a_2,b_2)}\times ......p_1^{max(a_k,b_k)}\\ &因此,gcd(a,b)\times lcm(a,b)=a\times b \end{align} \]

LL lcm(LL a, LL b) {
    return a / gcd(a, b) * b;
}

例题:hdu1788

题意是求最小的正整数N,满足除以每一个给定的数Mi,其结果均为Mi-a。作如下转化:
\[ N\%M_i\equiv(M_i-a)\%M_i\Rightarrow (N+a)\%M_i=0(a<M_i<100) \]
即N是Mi的倍数,那么题意也就是求所有M的最小公倍数,注意数字范围即可。

同余

对于两个不同的数a,b,如果有a % p = b % p(p>1),那我们就称a和b模p同余,记作:
\[ a\equiv b(mod\space p) \]

同余的性质

\[ \begin{aligned} &1.自反性:a\equiv a(mod\space m)\\ &2.对称性:a\equiv b(mod\space m),则b\equiv a(mod\space m)\\ &3.传递性:若a\equiv b(mod\space m),b\equiv c(mod\space m),则a\equiv c(mod\space m)\\ &4.线性运算:若a\equiv b(mod\space m),c\equiv d(mod\space m)\\ &\space\space\space则:a\pm c\equiv b\pm d(mod\space m);\space a\times c\equiv b\times d(mod\space m)\\ &5.幂运算:若a\equiv b(mod\space m),那么a^n\equiv b^n(mod\space m)\\ &6.若ac\equiv bc(mod\space m),且c≠0,那么a\equiv b(mod\space {m\over gcd(c,m)})\\ &\space\space\space特殊地,若gcd(c,m)=1,则a\equiv b(mod\space m) \end{aligned} \]

EXGCD

中国福利彩票微信群规大全贝祖定理(Bezouts Identity):若设a,b是不全为0的整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b),(a,b)代表最大公因数,则设a,b是不全为零的整数,则肯定存在整数x,y,使得ax+by=(a,b)。这个式子称为贝祖等式。

EXtend GCD 即扩展欧几里得算法,它可以用于解关于x,y的贝祖等式。

EXGCD的可行性

当a=0时,ax+by=gcd(a,b)=gcd(0,b)=b,这时可以解出y=1而x为任意。同理可得b=0时,解得x=1而y为任意。当a,b都不为0时:
\[ \begin{aligned} &设存在一组解为x_1,y_1,即ax_1+by_1=gcd(a,b)\\ &由欧几里得定理:gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)得:\\ &ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\\ &那么,bx_2+(a\%b)y_2=gcd(b,a\%b)=ax_1+by_1\\ &又a\%b=a-a/b\times b\\ &\begin {align} 那么,&ax_1+by_1\\ =&bx_2+(a-a/b\times b)y_2\\ =&bx_2+ay_2-a/b*b*y_2\\ =&ay_2+b(x_2-a/b*y_2) \end{align}\\ &故可以得到:x_1=y_2,\space y_1=x_2-a/b*y_2 \end{aligned} \]
a或b为0即迭代求解的出口,迭代过程用代码表示如下:

typedef long long LL;
// ver 1
// 返回值为gcd(a,b),x和y即求出的特解
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    LL ans = exgcd(b, a % b, x, y);
    //这里通过迭代求出了一组解x,y,这组解对应上面推导过程中的x2和y2。
    LL temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return ans;
}

// ver 2
// 在熟悉了推导过程之后,我们可以利用引用的性质得到更为简洁的ver2写法
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    LL ans = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ans;
}

EXGCD的应用

求关于x,y的方程ax+by=c的一组解

这里只需要对贝祖等式稍作变换即可。假设EXGCD求出的方程ax+by=gcd(a,b)的一组解为x1和y1。在方程两边同时乘上一个数m,使得c=m*gcd(a,b),这里也就要求c是gcd(a,b)的倍数,即c%gcd(a,b)=0。这也是方程有解的条件。此时方程为:
\[ \begin{align} &ax_1\times m+by_1\times m=gcd(a,b)\times m=c \end{align} \]
对于ax+by=gcd(a,b),其参数解为:
\[ \begin{align} &x=x_1+{b\over gcd(a,b)}\times t,y=y_1-{a\over gcd(a,b)}\times t,t为参数\\ &这里选用{b\over gcd(a,b)}和{a\over gcd(a,b)}是为了保证结果均为整数 \end{align} \]
那么对比方程ax+by=c,可以得到其特解为:
\[ \begin{align} &x_0=x_1\times m=x_1\times {c\over gcd(a,b)}\\ &y_0=y_1\times m=y_1\times {c\over gcd(a,b)} \end{align} \]
那么其通解为:
\[ \begin{align} &X=x_0+{b\over gcd(a,b)}\times t,Y=y_0-{a\over gcd(a,b)}\times t,t为参数\\ &这里选用{b\over gcd(a,b)}和{a\over gcd(a,b)}作为系数是为了确保得到均为整数解。 \end{align} \]
对于任意一个确定的t,都有一组确定的解与之对应,只需要根据需要找出对应的解即可。

例如求满足ax+by=c的X的最小非负整数解,那么在得到X的通解之后只需调整t,调整过程用伪代码表示为:

S = b / gcd(a, b);
X = (x0 % S + S) % S;
// 由于x0可能是负数,故在模之后还要加上S在取一次模。
// 同理可得Y的最小非负整数解
T = a / gcd(a, b);
Y = (y0 % T + T) % T;

完整的exgcd求解方程ax+by=c的X和Y的最小非负整数解得代码如下:

LL exgcd(LL a, LL b, LL c, LL& x, LL& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    LL ans = exgcd(a, b, c, y, x);
    y -= a / b * x;
    LL S = b / ans, T = a / ans;
    x = (x % S + S) % S;
    y = (y % T + T) % T;
    return ans;
}

求关于x的方程ax≡b(mod m)的最小非负整数解

ax≡b(mod m)即ax%m=b%m,即求ax+my=b%m(取模其实就相当于减去(加上)了若干个模数)。但只有a和m互质时有唯一解,否则无解。转化为ax+my=b(假设b<m)后,套用exgcd即可。

求a关于模数p的乘法逆元

设x是a关于p的乘法逆元,那么有ax≡1(mod p),这是第二个应用的特殊情况,显然也可以通过类似方法求得。

逆元

Inverse Element,逆元,推广了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。直观地说,它是一个可以取消另一给定元素运算的元素。a关于模p的逆元存在的条件是gcd(a,p)=1。
\[ \begin{align} &在模p意义下,设A的逆元为A^{-1},那么有A\times A^{-1}\equiv 1(mod\space p) \end{align} \]
为什么需要逆元呢?
\[ \begin{align} &在模意义下,{A\over B}\%p = {A\%p\over B\%p}\%p并不成立,\\ &那么设B在模p意义下的逆元表示为B^{-1},根据逆元的定义,有{A\over B}=A\times B^{-1}(mod \space p)。 \end{align} \]
这里,我们把除法转化为乘法,就可以运用取模运算的性质:(a * b) % c = (a % c * b % c) % c,优化算法。

逆元的求法

EXGCD求法

给定模数m,求a的逆元相当于求解关于x的方程ax≡1(mod m)。这个方程可以转化为ax-my=1 。用EXGCD可以求得一组x,y和gcd。检查gcd是否为1(因为EXGCD是把问题转化为求解方程ax-my=gcd(a,m),显然只有gcd(a,m)=1时才能转化),gcd不为1则说明逆元不存在。在能够成功求解的情况下,把解调整x到0~m-1的范围中即可。

费马小定理

在模p为质数的情况下,有费马小定理:
\[ a^{p-1}\equiv 1(mod\space p) \]
那么:
\[ a\times a^{p-2}\equiv 1(mod\space p)\\ 故a的逆元a^{-1}=a^{p-2} \]
然后用快速幂求出逆元即可。

拓展:快速幂

// a是底数,b是指数
LL pow(LL a, LL b, LL mod) {
    LL ans = 1;
    while(b) {
        if(b&1) ans = ans * a % mod;
        b >>= 1, a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

拓展:慢速乘,防止快速幂过程中乘法运算爆long long,只需把快速幂中的乘法替换为mul()即可,一般情况用不上。

// a为因数1,b为因数2
LL mul(LL a, LL b, LL mod) {
    LL ans = 0;
    while(b) {
        if(b&1) ans = (ans + a) % mod;
        b >>= 1, a = (a + a) % mod;
    }
    return ans;
}

欧拉定理

费马小定理其实是欧拉定理的特殊情况。在模数p不为质数时,有:
\[ a^{\phi(p)}\equiv 1(其中\phi()是欧拉函数) \]
同理可以得到:
\[ a^{-1}\equiv a^{\phi(p)-1} \]

线性逆元表

有时我们需要快速得出1~p-1的所有逆元,这个时候我们需要一种O(n)的方法,这就是线性逆元表。

首先,1关于任意模p的逆元的逆元都是1。设p = k * i + r(r < i ,1 < i < p),那么有:
\[ k\times i + r \equiv0(mod\space p) \]
利用逆元性质,两边同时乘上i的逆元以及r的逆元,得到:
\[ k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod\space p) \]
移项得:
\[ i^{-1}\equiv-k \times r^{-1}\equiv -⌊{p\over i}⌋\times (p\%i)^{-1}(mod\space p) \]
显然p%i是小于i的,那么我们就可以利用之前的结果在O(1)时间算出单独的逆元。

用代码表示即:

// inv[i]对应i的逆元
LL inv[maxn];
void CalInv() {
    // 0没有逆元,故不初始化
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
}

利用
\[ (a\times c)\% mod = (a\%mod\times c\%mod)\%mod;\\ 由a\times a^{-1}\equiv1(mod \space p)得,\\ inv_{fac(i)}\equiv inv_{fac(i)}\times (i+1)^{-1}\times (i+1)\equiv inv_{fac(i+1)}\times (i+1)(mod\space p) \]
我们还可以在线性时间求出1~min(n,p)的阶乘的逆元,代码如下:

LL fac[maxn], inv[maxn];
void CalFacInv() {
    // 0的阶乘是1
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[maxn - 1] = QPow(fac[maxn - 1], mod - 2);
    // 注意边界是≥
    for (int i = maxn - 2; i >= 0; i--)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

例题:hdu1576

题意即把除法转化为逆元乘法。3种方法的代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL n, B;
const LL mod = 9973;

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL ans = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a/b*x;
    return ans;
}

LL QPow(LL x, LL n)
{
    LL res = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

LL inv[10000];
void CalInv() {
    inv[1] = 1;
    for (LL i = 2; i < 10000; i++) {
        inv[i] = (mod * mod - mod / i * inv[mod % i]) % mod;
    }
}


int main() {
    CalInv();
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n >> B;
        // exgcd
        // LL x, y;
        // exgcd(B, mod, x, y);
        // cout << (x + mod) * n % mod << endl;
        
        // QPow
        // cout << QPow(B, mod - 2) * n % mod << endl;
        
        // 逆元打表
        cout << inv[B % mod] * n % mod << endl;
    }
    return 0;
}

posted @ 2019-11-20 00:17  Li_F  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏